LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
- ingenieriadeproceo
- 14 feb 2021
- 4 Min. de lectura
Actualizado: 22 feb 2021
La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras.
Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes.
Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.
Definición de la Transformada
Sea f(t) una función continua en [0, ∞] La transformada de Laplace de f(t) es la
función f(s) definida mediante la integral:
Dónde:
𝑓 𝑡 = 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑓 𝑠 = 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒
𝑠 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒
𝑡 = 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝
PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LA
TRANSFORMADA DE LAPLACE
LINEALIDAD
La transformada de Laplace de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la transformada de Laplace de la función.
TRASLACIÓN
La transformada de Laplace se convierte en un factor exponencial en una traslación en la variable s
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN f ´(t)
La transformada de Laplace se convierte en un factor exponencial en una traslación en la variable s
TRANSFORMADA DE LA INTEGRAL
TEOREMA
INVERSA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Definición
Sea una función F(s). Si existe una función f(t) que sea seccionalmente continua en el intervalo [0, ∞) y satisfaga la relación:
entonces 𝑓(𝑡) es la transformada inversa de Laplace de F(s)
Ejemplo:
Determinar la transformada inversa de Laplace ℒ−1 𝐹 𝑠 , donde:
MÉTODO DE FRACCIONES PARCIALES
Este método consiste en expresar una función 𝐹 (𝑠) de la forma P(𝑠) /𝑄 (𝑠) (función racional), donde 𝑃 (𝑠) y 𝑄 (𝑠) son polinomios en 𝑠, y donde el grado de 𝑃 (𝑠) es menor que el grado de 𝑄 (𝑠) .
Transformada de Laplace; Caso I. Raíces Reales y Diferentes.
Ejemplo: expandir
Es decir:
Y para la solución cada constante se le realiza lo siguiente:
Entonces:
Por lo que:
Transformada Inversa de LAPLACE: CASO II, Raíces reales e iguales
En este caso es una fracción propia porque el denominador es de mayor orden que el numerador, es decir el numerador es de tercer orden.
Solución para un caso general se tiene:
Se representa el numerador como una función de (s) y se divide por un factor que se repite “r” veces.
El orden del denominador nos dice en cuantos términos se va a expandir la fracción.
En los numeradores se colocarán las constantes que después se obtendrán.
Donde las constantes se obtendrán de la ecuación siguiente:
Aquí encontraremos derivadas con respecto a (s)
Existe una constante “i” que es secuencial que tendrá valores desde 1 hasta “r”
Luego se va a evaluar en “s” tendiendo hacia el valor de la raíz del termino correspondiente, para este caso como todos tienen la misma raíz tendrán el mismo valor.
Ejemplo:
Para encontrar las constantes:
Por tanto, la fracción anterior expandida queda:
CASO III: RAICES COMPLEJAS CONJUGADAS
Raíces de factores cuadráticos
Método de factores cuadráticos
Se factoriza 𝑄𝑠 usando completación de cuadrados de la forma
Luego se construye la fracción parcial de la forma:
Donde los valores de A y B se determinan por el álgebra básica
La trasformada inversa es:
Aplicación de la transformada de Laplace
La transformada de Laplace es una técnica, empleada tanto en ingeniería como en ciencias, para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes y condiciones iniciales.
Sirve para resolver ecuaciones que aparecen con mucha frecuencia en Teoría de Circuitos y, en general, en Teoría de sistemas. Por supuesto, hay otros métodos para resolver estas mismas ecuaciones.
El método de perturbación (PM, por sus siglas en inglés: Method), es un método bien establecido, puesto que ha sido utilizado exitosamente en la solución de diversos problemas científicos y de ingeniería. Este método fue iniciado por S.D. Poisson y extendido por J. H. Poincare. Este método supone que es posible expresar una ecuación diferencial no lineal en términos de una parte lineal y otra no lineal.
Si te interesa este método, y te gustaría conocer un poco de su aplicación en conjunto con la transformada de Laplace para resolver problemas no lineales de múltiples soluciones, te recomendamos que leas el siguiente artículo científico:
Ejercicio de aplicación
Una industria de tratamiento de aguas residuales desea saber qué tiempo se necesita para llegar al 50% de eficiencia en la neutralización química de HCl (ácido clorhídrico) con Na(OH) (Hidróxido de sodio). Se realiza pruebas de laboratorio a pequeña escala. Se comienza con un proceso de 4 moles de HCl y durante la neutralización se observa que a los 5 segundos solo el 30% de la solución ha reaccionado. Calculemos el tiempo en que demora llegar al 50%.
1) Objeto:
Determinar el tiempo en el que demora llegar al 50%
2) Esquema:
1) Cálculos:
Datos:
y= número de moles sin reaccionar
t= tiempo de reacción
k= constante
yo = 4 moles HCl
4) Conclusiones:
El tiempo que demora en llegar al 50% de eficiencia en la neutralización química de HCl con Na(OH) es de 9,7 segundos.
Si deseas indagar un poco más de todo el contenido referente a la Transformada de Lapace, hemos encontrado un paper que de seguro te agradará, esperamos que le saques el máximo provecho:
Bibliografía
Ogata, K. (2010). Ingeniería de Control Moderna 5a. ed. Madrid: PEARSON EDUCACION.
Zill, D. G. (2000). Ecuaciones diferenciales, con aplicaciones de modelado (6.a ed.). Séneca 53, Col. Polanco, México, D. F., C. P. 11560: Thomson.
G. James, Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Pearson Educación, 2002, pp. 130-135.
G. Calandrini, Guía de Definiciones y Teoremas estudiados en el curso de Funciones de Variable Compleja. 1er. cuatrimestre 2011, pp. 56-63
Filobello-Niño, Uriel Antonio, Vázquez-Leal, Héctor, Sandoval-Hernández, Mario Alberto, Huerta-Chua, Jesús, & Jiménez-Fernández, Víctor Manuel. (2019). Método de perturbación con transformada de Laplace para resolver problemas no lineales de múltiples soluciones, con condiciones a la frontera mixtas y Neumann. CienciaUAT, 13(2), 6-17
Video de la exposición
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